MathCityMap wurde im Rahmen eines Kooperationsprojekts der Universität Paderborn unter Leitung von Max Hoffmann mit dem Pelizaeus-Gymnasium in Paderborn eingesetzt. Dort haben Schülerinnen und Schüler der 9. Klasse einen mathematischen Stadtrundgang erstellt. Lesen Sie hier mehr dazu.
MathCityMap wurde im Rahmen eines Kooperationsprojekts der Universität Paderborn unter Leitung von Max Hoffmann mit dem Pelizaeus-Gymnasium in Paderborn eingesetzt. Dort haben Schülerinnen und Schüler der 9. Klasse einen mathematischen Stadtrundgang erstellt. Lesen Sie hier mehr dazu.
Neben vielfältigen geometrischen Fragestellungen, spielen auch kombinatorische und stochastische Probleme eine bedeutende Rolle bei MathCityMap. Heute möchten wir Ihnen die häufigsten Blaupausenaufgaben rund um das Thema Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit vorstellen. Zwei kombinatorische Fragestellungen, die schnell und unkompliziert mit dem Aufgabenwizard erstellt werden können, sind Aufgaben zu Kombinationsmöglichkeiten bei Treppenstufen und Fahrradständern. Zur Lösung der Aufgabe […]
Neben vielfältigen geometrischen Fragestellungen, spielen auch kombinatorische und stochastische Probleme eine bedeutende Rolle bei MathCityMap. Heute möchten wir Ihnen die häufigsten Blaupausenaufgaben rund um das Thema Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit vorstellen.
Zwei kombinatorische Fragestellungen, die schnell und unkompliziert mit dem Aufgabenwizard erstellt werden können, sind Aufgaben zu Kombinationsmöglichkeiten bei Treppenstufen und Fahrradständern.
Auf wie viele Arten kann man die Treppe hochlaufen, wenn man eine oder zwei Stufen nimmt?
Zur Lösung der Aufgabe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen ist es möglich, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von 1er und 2er Schritten systematisch zu notieren. Dabei können die SchülerInnen dies mithilfe der Treppe direkt vor Ort ausprobieren und schlussfolgern, welche Kombinationen möglich sind. Bei einer anderen Überlegung verwendet man die Tatsache, dass der letzte Schritt entweder eine Stufe oder zwei Stufen umfasst. Lässt man diesen letzten Schritt weg, so ergibt sich für eine Treppe mit n Stufen die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe der Möglichkeiten n-1 und n-2 Stufen hochzulaufen. Diese Überlegung führt zu den Fibonacci Zahlen, einer rekursiven Folge bei der sich eine Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt.
Wie viele Möglichkeiten gibt es k Fahrränder anzuschließen?
Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, die Anzahl aller Möglichkeiten zu bestimmen, k Fahrräder an die Fahrradständer anzuschließen. Dafür benötigt man die Anzahl der Stellplätze n. Für das erste Fahrrad gibt es dementsprechend n Möglichkeiten um das Fahrrad abzustellen. Da dieser Platz danach belegt ist, bleiben für das zweite Fahrrad noch n-1 Möglichkeiten dieses anzuschließen. Analog geht erhält man für das k-te Fahrrad n-(k+1) Möglichkeiten. Bei diesem kombinatorischen Problem handelt es sich demnach um eine geordnete (die Reihenfolge berücksichtigende) Stichprobe ohne Zurücklegen. Mithilfe der Produktregel der Kombinatorik (auch bekannt als Allgemeines Zählprinzip) ergibt sich per Multiplikation die Gesamtzahl der Möglichkeiten.
Dabei ist es wichtig, die Aufgaben präzise zu formulieren und deutlich zu machen, um welches Objekt bzw. um welchen Teil des Objekts es sich handelt (z.B. bei einer sehr langen Treppe den untersten Treppenabsatz). Die Aktivität des Aufgabenlösers bezieht sich hier zunächst auf das Zählen der Treppenstufen bzw. Parkmöglichkeiten der Fahrräder. Daher muss beim Fotografieren beachtet werden, dass diese Anzahl nicht bereits aus dem Foto entnommen werden kann.
Auch Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch MCM realisieren, beispielsweise die Frage, nach der Wahrscheinlichkeit an eine Ampel während einer Grünphase zu kommen oder an einer Bushaltestelle weniger als 5 Minuten auf den nächsten Bus warten zu müssen. Beide Aufgabentypen zielen auf die Laplacewahrscheinlichkeit (günstige Ereignisse dividiert durch alle möglichen Ereignisse).
Beide Schwerpunkte haben wir im folgenden Dokument mit mathematischem Hintergrund und Hinweisen im Detail für Sie zusammengestellt.
Auch wenn der Schwerpunkt vieler MCM Aufgaben auf Mathematikstoff der Sekundarstufe I liegt, lassen sich auch einige Aufgaben mit Themen aus der Sekundarstufe II realisieren. So unsere aktuelle Aufgabe der Woche, die im Rahmen einer Lehrerfortbildung an den Kaufmännischen Schulen Hanau erstellt wurde. Aufgabe: Parabelrutsche (Aufgabennummer: 2241) Die Form der Rutsche ist das Stück einer […]
Auch wenn der Schwerpunkt vieler MCM Aufgaben auf Mathematikstoff der Sekundarstufe I liegt, lassen sich auch einige Aufgaben mit Themen aus der Sekundarstufe II realisieren. So unsere aktuelle Aufgabe der Woche, die im Rahmen einer Lehrerfortbildung an den Kaufmännischen Schulen Hanau erstellt wurde.
Die Form der Rutsche ist das Stück einer Parabel. Bestimmen Sie den Stauchungsfaktor. 1m entspricht 1 LE. Sie können davon ausgehen, dass die Rutsche am Ende nahezu waagerecht ist.
Die Rutsche wird entsprechend der Aufgabenstellung mithilfe der Funktionsgleichung f(x)=ax² einer Parabel approximiert. Zum Lösen der Aufgabe müssen die SchülerInnen die Situation zunächst in ein geeignetes Koordinatensystem übertragen. Da lediglich nach dem Stauchungsfaktor gefragt wird, ist es nicht nötig, dies in der Aufgabenstellung festzulegen. Es macht Sinn das Koordinatensystem so festzulegen, dass der Ursprung am unteren Ende der Parabel liegt, jedoch das waagrechte Ende außenvorlässt. Bei einer solchen Wahl genügt es, einen weiteren Punkt auf der Rutsche zu bestimmen, also die Änderung in der x- und y-Koordinate. Durch Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt sich der Stauchungsfaktor a.
Anfang des Jahres konnte MCM erfolgreich in Mumbai präsentiert werden. In diesem Rahmen wurde selbstverständlich auch gleich der erste indische Math Trail angelegt, aus dem unsere akutelle Aufgabe der Woche stammt. Aufgabe: Rasenfläche (Aufgabennummer: 2459) Bestimme den Flächeninhalt der Rasenfläche. Gib das Ergebnis in m² an. Zunächst muss ein mathematisches Modell gefunden werden, dass die […]
Anfang des Jahres konnte MCM erfolgreich in Mumbai präsentiert werden. In diesem Rahmen wurde selbstverständlich auch gleich der erste indische Math Trail angelegt, aus dem unsere akutelle Aufgabe der Woche stammt.
Bestimme den Flächeninhalt der Rasenfläche. Gib das Ergebnis in m² an.
Zunächst muss ein mathematisches Modell gefunden werden, dass die Rasenfläche bestmöglich repräsentiert. Dies gelingt am besten, indem die Gesamtfläche in mehrere Einzelflächen aufgeteilt wird. Naheliegend ist dabei die Aufteilung in zwei Halbkreise und ein Rechteck. Dafür müssen die Rechtecksseitenlängen sowie der Kreisradius gemessen, die Flächen berechnet sowie alle Teilflächen addiert werden.
Die Aufgabe dem Themenkomplex zusammengesetzten Flächen zuzuordnen, wobei Berechnungen am Kreis schon bekannt sein müssen, um die Aufgabe möglichst exakt zu lösen. Im deutschen Schulsystem wäre sie demnach ab Klasse 8 lösbar.
Unser erster Fokus zur Reihe Blaupausenaufgaben, also Aufgaben, die man an jedem Standort mit ähnlichen Objekten erstellen kann, liegt auf dem Thema Steigung. Dieses Thema hat für den Mathematikunterricht im Sinne des Spiralcurriculums in verschiedenen Jahrgangsstufen bis in die Oberstufe Relevanz. Insbesondere die Steigung einer Geraden bzw. linearen Funktion erlaubt es, die Steigung verschiedener Objekte, […]
Unser erster Fokus zur Reihe Blaupausenaufgaben, also Aufgaben, die man an jedem Standort mit ähnlichen Objekten erstellen kann, liegt auf dem Thema Steigung. Dieses Thema hat für den Mathematikunterricht im Sinne des Spiralcurriculums in verschiedenen Jahrgangsstufen bis in die Oberstufe Relevanz.
Insbesondere die Steigung einer Geraden bzw. linearen Funktion erlaubt es, die Steigung verschiedener Objekte, wie Rampen oder Treppengeländer, mit Mathematik aus der Sekundarstufe I zu bestimmen. Das Ergebnis kann entweder in Prozent oder – unter Einbezug von trigonometrischen Zusammenhängen – in Grad angegeben werden.
Die mathematische Grundlage ist die Definition der Steigung als Quotient aus vertikaler und horizontaler Differenz, bzw. anschaulich gesprochen: die Verwendung eines Steigungsdreiecks. Dies kann z.B. an Rampen umgesetzt werden, insbesondere, wenn die waagrechte Länge einfach zu messen ist:
Beispiel einer Rampe, bei der sowohl horizontale, als auch vertikale Änderung leicht zu ermitteln sind.
Schwieriger wird die Berechnung der Steigung von Handläufen, bei denen man für die horizontale und vertikale Änderung eine Wasserwage benutzen sollte:
Beispiel eines Handlaufs, bei dem das Ergebnis ohne Wasserwaage ungenau wird.
Die Wendeltreppe führt das Thema Steigung auf eine komplexere Ebene und erfordert Vorstellungsvermögen und Transferwissen.Bei nicht linear steigenden Objekten kann man nach der maximalen Steigung oder nach der Steigung in einem bestimmten Punkt fragen, z.B. als Vorbereitung für den Begriff der Tangente.
Im beigefügten Dokument finden Sie unsere ausführliche Sammlung mit häufig vorkommenden Blaupausenaufgaben zum Thema Steigung, dem mathematischen Hintergrund sowie bewährten Hilfestellungen und Tipps, zusammengestellt von Matthias Ludwig:
Übrigens: Mit unserem Aufgaben Wizard können Sie die Aufgaben zur Steigung bei Rampen und gradlinigen Treppengeländern mit nur wenigen Klicks erstellen und auf passende Objekte in Ihrer Nähe übertragen!
MathCityMap steht für outdoor mathematics, authentische Aufgaben, körperliche Aktivität, neue Technologien und Teamarbeit. Und wir behaupten: Die Verbindung der genannten Aspekte funktioniert (nahezu) überall und wie von Zauberhand… …denn in jeder Stadt gibt es Treppen, Gebäude, Parkplätze, Rampen, Schilder und viele weitere immer wiederkehrende Objekte, an denen man aktiv Mathematik betreiben kann. Diese Objekte bieten […]
MathCityMap steht für outdoor mathematics, authentische Aufgaben, körperliche Aktivität, neue Technologien und Teamarbeit. Und wir behaupten: Die Verbindung der genannten Aspekte funktioniert (nahezu) überall und wie von Zauberhand…
…denn in jeder Stadt gibt es Treppen, Gebäude, Parkplätze, Rampen, Schilder und viele weitere immer wiederkehrende Objekte, an denen man aktiv Mathematik betreiben kann. Diese Objekte bieten die Chance, bereits an anderen Orten bestehende Aufgaben leicht und schnell zu übertragen. Wir sprechen von sogenannten Blaupausenaufgaben. Die Idee dahinter ist also eine fertige Fragestellung, bei der nur das Objekt ausgetauscht wird und die Messwerte erhoben werden.
Besonders häufig vorkommende Blaupausenaufgaben können bereits mithilfe des Aufgaben-Wizards erstellt werden. Dieser ermöglicht es, komplette Aufgaben durch wenige Klicks anzulegen, denn Musterlösung und Hinweise werden vom Wizard automatisch generiert und eingefügt.
In den folgenden Monaten werden wir vielfältige und jahrgangsübergreifende Themengebiete aus unserem Katalog vorstellen, die sich durch Blaupausenaufgaben realisieren lassen, z.B. Steigung, Anzahlen bestimmen und abschätzen, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit, Geschwindigkeit, Flächen, Volumen und Gewicht. Es handelt sich dabei um einen offenen und stets wachsenden Fundus. Wir freuen uns deshalb über Ihre Ideen zu Blaupausenaufgaben!
Unser heutiges Objekt – gefunden in Hamburg – erfordert das Erkennen verschiedener Vierecksformen sowie das geschickte Zerlegen in mehrere Teilflächen. Aufgabe: Glasüberdachung (Aufgabennummer: 2148) Wie viel Quadratmeter Glas wurde für die gesamte Überdachung verbaut? Die Verglasung besteht aus einer rechteckigen Dachfläche (zerlegbar in drei kleine Rechtecke), einer rechteckigen Fläche neben dem Eingang und drei Trapezen […]
Unser heutiges Objekt – gefunden in Hamburg – erfordert das Erkennen verschiedener Vierecksformen sowie das geschickte Zerlegen in mehrere Teilflächen.
Wie viel Quadratmeter Glas wurde für die gesamte Überdachung verbaut?
Die Verglasung besteht aus einer rechteckigen Dachfläche (zerlegbar in drei kleine Rechtecke), einer rechteckigen Fläche neben dem Eingang und drei Trapezen an jeder Seite. Zum Lösen der Aufgabe müssen also sämtliche Messwerte für die Rechtecke und Trapeze erhoben werden. Anschließend berechnen die SchülerInnen die einzelnen Flächeninhalte und durch Addition den gesamten Inhalt der Verglasung.
Durch die einzelnen Balken ist die Zerlegung der Flächen nahezu vorgegeben. Dennoch erfordert die Aufgabe das Erkennen der geometrischen Formen sowie eine passende Mathematisierung der Aufgaben durch Formelwissen von Rechteck und Trapez. Diese geometrische Fragestellung lässt sich zusammengesetzten Flächen zuordnen und kann ab Klasse 8 gelöst werden.
Auch im neuen Jahr möchten wir Ihnen interessante Aufgaben und Themen aus dem MathCityMap Aufgabenportal vorstellen. Den Beginn macht eine Aufgabe aus Katar, die im Rahmen einer Vorstellung von MathCityMap angelegt wurde. Aufgabe: Steigung der Helix (Aufgabennummer: 2243) Bestimme die Steigung des Handlaufs der kreisförmigen Rampe. Gib das Ergebnis in Prozent an. Trotz der architektonischen […]
Auch im neuen Jahr möchten wir Ihnen interessante Aufgaben und Themen aus dem MathCityMap Aufgabenportal vorstellen. Den Beginn macht eine Aufgabe aus Katar, die im Rahmen einer Vorstellung von MathCityMap angelegt wurde.
Bestimme die Steigung des Handlaufs der kreisförmigen Rampe. Gib das Ergebnis in Prozent an.
Trotz der architektonischen Besonderheit des Gebäudes, lässt sich die Aufgabe auf bekannte Art und Weise lösen. Dabei kann man sich die Definition der Steigung als Quotient aus vertikaler und horizontaler Änderung zu Nutze machen. Insbesondere mithilfe der Geländerstäbe lassen sich Abstand und horizontale Änderung leicht erfassen.
Damit passt die Aufgabe thematisch in den Bereich „Steigung“ – ein Thema, das bei MathCityMap immer wieder und an nahezu jedem Standort vorkommt, egal ob bei Geländern, Rampen oder Treppen. Die Aufgabenstellung ist ab Klassenstufe 7 lösbar und dient als Grundlage für das Erkennen von funktionalen Zusammenhängen.
Mit einer Aufgabe aus dem Frankfurter Weihnachtstrail möchten wir heute die letzte „Aufgabe der Woche“ in diesem Jahr vorstellen und dabei auf die Möglichkeit der Thematisierung von Wahrscheinlichkeiten im Rahmen von MCM aufmerksam machen. Aufgabe: Packstation im Westend (Aufgabennummer: 779) Du sollst zwei Pakete für den Chef abholen. Du weißt nicht wie groß sie sind. […]
Mit einer Aufgabe aus dem Frankfurter Weihnachtstrail möchten wir heute die letzte „Aufgabe der Woche“ in diesem Jahr vorstellen und dabei auf die Möglichkeit der Thematisierung von Wahrscheinlichkeiten im Rahmen von MCM aufmerksam machen.
Du sollst zwei Pakete für den Chef abholen. Du weißt nicht wie groß sie sind. Du rätst hinter welchen der gelben Fächer sie liegen könnten (in jedem Fach kann nur ein Paket liegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Pakete auch wirklich hinter den von Dir getippten Fächern liegen?
Zunächst muss geklärt werden, wie viele Fächer es gibt. Anschließend kann berechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit man das erste Fach und das zweite Fach richtig tippt. Hierbei sind kombinatorische Überlegungen dahingehend notwendig, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt. Als Antwortformat wurde bei dieser Aufgabe Multiple Choice gewählt, wobei die korrekte Lösung durch zwei Antwortmöglichkeiten ausgedrückt werden kann: einmal als Bruch und einmal als Abschätzung mit Prozent, was die Äquivalenz beider Formen unterstreicht. Die Aufgabe wird ab Klasse 9 empfohlen.
Mit dieser Aufgabe verabschiedet sich das MCM Team in die Weihnachtspause und wünscht allen Nutzern eine schöne Weihnachtszeit sowie ein gutes neues Jahr. Wir sind gespannt, wie wir im neuen Jahr das MCM Projekt weiterentwickeln können und freuen uns auf eine spannende Zeit!
Als Aufgabenersteller für MathCityMap ist es wichtig, die Umwelt durch eine „mathematische Brille“ zu betrachten. So werden Gebäude zu Quadern, Rasenflächen zu Vielecken oder – wie in der aktuellen Aufgabe der Woche – Gewächshäuser zu halben Zylindern. Aufgabe: Gewölbtes Gewächshaus (Aufgabennummer: 1950) Berechne den Materialbedarf an Wellplastik für das Gewächshaus. Gib das Ergebnis in m² […]
Als Aufgabenersteller für MathCityMap ist es wichtig, die Umwelt durch eine „mathematische Brille“ zu betrachten. So werden Gebäude zu Quadern, Rasenflächen zu Vielecken oder – wie in der aktuellen Aufgabe der Woche – Gewächshäuser zu halben Zylindern.
Berechne den Materialbedarf an Wellplastik für das Gewächshaus. Gib das Ergebnis in m² an.
Beim Lösen der Aufgabe wird dieser mathematische Blick auch bei den SchülerInnen geschult. Dabei geht es zunächst um das Erkennen des Objekts als halben liegenden Zylinder. Ist dies geschafft, müssen Radius, der Umfang des Halbkreises und Höhe gemessen werden, damit der Materialverbrauch berechnet werden kann. Dies entspricht der Oberfläche des halben Zylinders, die mithilfe von Formeln für den Flächeninhalt eines Kreises und der Mantelfläche eines Zylinders bestimmt werden kann.
