26. Februar 2018

Blaupausenaufgaben: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Neben vielfältigen geometrischen Fragestellungen, spielen auch kombinatorische und stochastische Probleme eine bedeutende Rolle bei MathCityMap. Heute möchten wir Ihnen die häufigsten Blaupausenaufgaben rund um das Thema Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit vorstellen.

Zwei kombinatorische Fragestellungen, die schnell und unkompliziert mit dem Aufgabenwizard erstellt werden können, sind Aufgaben zu Kombinationsmöglichkeiten bei Treppenstufen und Fahrradständern.

Auf wie viele Arten kann man die Treppe hochlaufen, wenn man eine oder zwei Stufen nimmt?

Zur Lösung der Aufgabe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen ist es möglich, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von 1er und 2er Schritten systematisch zu notieren. Dabei können die SchülerInnen dies mithilfe der Treppe direkt vor Ort ausprobieren und schlussfolgern, welche Kombinationen möglich sind. Bei einer anderen Überlegung verwendet man die Tatsache, dass der letzte Schritt entweder eine Stufe oder zwei Stufen umfasst. Lässt man diesen letzten Schritt weg, so ergibt sich für eine Treppe mit n Stufen die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe der Möglichkeiten n-1 und n-2 Stufen hochzulaufen. Diese Überlegung führt zu den Fibonacci Zahlen, einer rekursiven Folge bei der sich eine Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt.

Wie viele Möglichkeiten gibt es k Fahrränder anzuschließen?

Bei dieser Aufgabe ist es notwendig, die Anzahl aller Möglichkeiten zu bestimmen, k Fahrräder an die Fahrradständer anzuschließen. Dafür benötigt man die Anzahl der Stellplätze n. Für das erste Fahrrad gibt es dementsprechend n Möglichkeiten um das Fahrrad abzustellen. Da dieser Platz danach belegt ist, bleiben für das zweite Fahrrad noch n-1 Möglichkeiten dieses anzuschließen. Analog geht erhält man für das k-te Fahrrad n-(k+1) Möglichkeiten. Bei diesem kombinatorischen Problem handelt es sich demnach um eine geordnete (die Reihenfolge berücksichtigende) Stichprobe ohne Zurücklegen. Mithilfe der Produktregel der Kombinatorik (auch bekannt als Allgemeines Zählprinzip) ergibt sich per Multiplikation die Gesamtzahl der Möglichkeiten.

Dabei ist es wichtig, die Aufgaben präzise zu formulieren und deutlich zu machen, um welches Objekt bzw. um welchen Teil des Objekts es sich handelt (z.B. bei einer sehr langen Treppe den untersten Treppenabsatz). Die Aktivität des Aufgabenlösers bezieht sich hier zunächst auf das Zählen der Treppenstufen bzw. Parkmöglichkeiten der Fahrräder. Daher muss beim Fotografieren beachtet werden, dass diese Anzahl nicht bereits aus dem Foto entnommen werden kann.

Auch Wahrscheinlichkeiten lassen sich durch MCM realisieren, beispielsweise die Frage, nach der Wahrscheinlichkeit an eine Ampel während einer Grünphase zu kommen oder an einer Bushaltestelle weniger als 5 Minuten auf den nächsten Bus warten zu müssen. Beide Aufgabentypen zielen auf die Laplacewahrscheinlichkeit (günstige Ereignisse dividiert durch alle möglichen Ereignisse).

Beide Schwerpunkte haben wir im folgenden Dokument mit mathematischem Hintergrund und Hinweisen im Detail für Sie zusammengestellt.

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