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Aufgabe der Woche: Das Blumenbeet

Die heutige Aufgabe der Woche wurde in Druskininkai, Litauen, von unserer MoMaTrE-Projektpartnerin Sona Ceretkova erstellt. Die Aufgabenstellung „Flower Frame“ fragt, wie viel Prozent der Beetfläche aus einem Rechteck durch zwei halbkreisförmige Einschnitte „herausgeschnitten“ wurden. Zu ihrer Aufgabe hat uns Sona Ceretkova einige Fragen beantwortet. Was ist der mathematische Gegenstand der Aufgabe? Das Blumenbeet befindet sich […]

Die heutige Aufgabe der Woche wurde in Druskininkai, Litauen, von unserer MoMaTrE-Projektpartnerin Sona Ceretkova erstellt. Die Aufgabenstellung „Flower Frame“ fragt, wie viel Prozent der Beetfläche aus einem Rechteck durch zwei halbkreisförmige Einschnitte „herausgeschnitten“ wurden. Zu ihrer Aufgabe hat uns Sona Ceretkova einige Fragen beantwortet.

Was ist der mathematische Gegenstand der Aufgabe?

Das Blumenbeet befindet sich im Kurort Druskininkai in Litauen, der als wahres Blumenparadies gilt. Es ist eine weit verbreitete Praxis, Blumenbeete durch Steinreihen zu rahmen. Ein solcher Steinrahmen wurde aufgrund seiner interessanten Form für unsere Aufgabe gewählt: Das Blumenbeet kann als Rechteck mit zwei ausgeschnittenen Halbkreisen modelliert werden.

Zu jenem Objekt sind eine Vielzahl mathematischer Fragestellungen denkbar:

Berechne die Größe der Rechtecksfläche ohne die kreisförmigen Einschnitte.
Berechne die Fläche der beiden Einschnitte.
Berechne die Differenz der Gesamtfläche des Rechtecks (ohne Einschnitte) und der beiden Einschnitte.
Berechne den Anteil der Einschnitte an der Rechtecksfläche.
Berechne den Anteil der Einschnitte an der Gesamtfläche des Blumenbeets.
Berechne, wie viel Prozent des Rechtecks durch die beiden Einschnitte fehlen.
Dies ist auch die Aufgabenstellung der hier präsentierten Aufgabe „Flower Frame“

Wie kann man das Problem lösen?

Die Rahmung des Blumenbeets hat „mathematikfreundliche“ Maße: Es ist vier Meter lang und einen Meter breit. Bei beiden Einschnitten handelt es sich um zwei identische Halbkreise, welche folglich einen ganzen Kreis bilden. Dies wird in einem Hinweis angegeben. Damit ist die gegebene geometrische Modelling der Situation relativ einfach (siehe Bild).

Ein weiterer Hinweis legt fest, dass die Fläche des Rechtecks (Fläche des Blumenbeets ohne Einschnitte) 100% beträgt. Damit beträgt die Größe der fehlenden Fläche ca. 20%. Die Lösung wird mittels multiple choise abgefragt, was wir in diesem Sachzusammenhang für das sinnvollste Lösungsformat erachten. Interessant kann es dabei sein, die Aufgabenbearbeiter vor der Vermessung einen Tipp abgeben zu lassen: Dass 1/5 der Rechtecksfläche durch die beiden halbkreisförmigen Einschnitte „herausgeschnitten“ wurden, ist ein überraschend großer Anteil!

Welches didaktische Ziel verfolgt die Aufgabe?

Mit dieser Aufgabenstellung wollen wir mehrere mathematikdidaktische Ziele verfolgen:

Präzises Messen.
Vorstellen, Zeichnen oder Beschreiben der mathematischen Situation durch ein Rechteck und zwei Halbkreise.
Berung zweier geometrischer Grundformen: Rechteck & Kreis
Korrekter Umgang mit Einheiten
Anwendung der Prozentrechnung
Interdisziplinäre Ansätze: Ökologie & Botanik

Aufgabe der Woche: Rote Fläche

Im Hamburger Stadtteil Wilhelmsburg wurden im Herbst diesen Jahres zahlreiche Aufgaben im Rahmen der Stiftungstage 2017 angelegt. Die angelegten Aufgaben überzeugen – ganz im Sinne des MCM Konzepts – insbesondere durch ihre altersübergreifende und thematische Vielfalt, die wir exemplarisch in der heutigen Aufgabe der Woche darstellen möchten. Aufgabe: Rote Fläche (Aufgabennummer: 1964) Wie groß ist […]

Im Hamburger Stadtteil Wilhelmsburg wurden im Herbst diesen Jahres zahlreiche Aufgaben im Rahmen der Stiftungstage 2017 angelegt. Die angelegten Aufgaben überzeugen – ganz im Sinne des MCM Konzepts – insbesondere durch ihre altersübergreifende und thematische Vielfalt, die wir exemplarisch in der heutigen Aufgabe der Woche darstellen möchten.

Aufgabe: Rote Fläche (Aufgabennummer: 1964)

Wie groß ist die rote Fläche, auf der die Tischtennisplatte steht? Gib das Ergebnis in m² an.

Schnell wird klar, dass sich die gesamte Fläche nicht durch ein einzelnes geometrisches Objekt approximieren lässt, bzw. dies nur unter deutlichen Einbußen bezüglich der Genauigkeit möglich ist. Es bietet sich demnach an, die gesuchte Fläche in disjunkte Teilflächen zu zerlegen, die mithilfe von Formeln berechnet werden können. Dies geschieht am besten mithilfe einer Skizze. Eine besondere Herausforderung sind dabei die geschwungenen Ränder, an denen Abschätzungen und Annäherungen notwendig sind. Nach Messungen und Berechnungen folgt der Gesamtflächeninhalt durch Addition der Flächeninhalte aller Teilflächen.

Die Fläche lässt sich mithilfe von Rechtecken und Dreiecken beschreiben. Zudem ist das Prinzip der Zerlegung und Additivität von Flächeninhalten Voraussetzung zur Lösung des Problems. Die Aufgabe lässt sich ab Klasse 7 einsetzen.

Aufgabe der Woche: Lampe

Mit zwei Trails in Salzburg können wir nun auch Österreich als 9. Land mit einem MCM Trail begrüßen. Die aktuelle Aufgabe der Woche stellt daraus eine Aufgabe im Themenbereich Mantel- und Oberfläche eines Zylinders vor. Sie befindet sich im Trail an der naturwissenschaftlichen Fakultät der Paris-Lodron Universität Salzburg. Aufgabe: Lampe (Aufgabennummer: 1908) Wie groß ist […]

Mit zwei Trails in Salzburg können wir nun auch Österreich als 9. Land mit einem MCM Trail begrüßen. Die aktuelle Aufgabe der Woche stellt daraus eine Aufgabe im Themenbereich Mantel- und Oberfläche eines Zylinders vor. Sie befindet sich im Trail an der naturwissenschaftlichen Fakultät der Paris-Lodron Universität Salzburg.

Aufgabe: Lampe (Aufgabennummer: 1908)

Wie groß ist die zu streichende schwarze Fläche einer Lampe ohne die Bodenplatte? Gib das Ergebnis in m² an. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Die SchülerInnen erkennen die Lampe zunächst als zylinderförmig und bestimmen dann die schwarzen Flächen. Dafür ist es notwendig die Lampe in zwei Zylinder aufzuteilen. Für den oberen kleinen Zylinder werden Mantelfläche sowie der Deckel berechnet, für den unteren Zylinder lediglich die Mantelfläche. Dafür sind Höhe sowie Radius zu messen. Anschließend werden die einzelnen Flächen addiert und ergeben die zu streichende Gesamtfläche.

Die Aufgabe lässt sich dem Themenbereich Geometrie und insbesondere geometrische Körper (Zylinder) zuordnen und kann ab Klasse 9 eingesetzt werden.

Aufgabe der Woche: Pavillon

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um eine geometrische Fragestellung. Dabei geht es um die Flächenberechnung der Dachfläche des abgebildeten Pavillons. Aufgabe: Pavillon (Aufgabennummer: 665) Bestimme die Dachfläche des Pavillons! Gib das Ergebnis in m² an. Dafür sollen die SchülerInnen erkennen, dass die Dachfläche aus mehreren gleichschenkligen Dreiecken besteht. Es genügt also die Höhe […]

Die heutige Aufgabe der Woche dreht sich um eine geometrische Fragestellung. Dabei geht es um die Flächenberechnung der Dachfläche des abgebildeten Pavillons.

Aufgabe: Pavillon (Aufgabennummer: 665)

Bestimme die Dachfläche des Pavillons! Gib das Ergebnis in m² an.

Dafür sollen die SchülerInnen erkennen, dass die Dachfläche aus mehreren gleichschenkligen Dreiecken besteht. Es genügt also die Höhe und Grundseite eines Dreiecks zu messen und mithilfe der Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken den Flächeninhalt zu berechnen. Anschließend kann die Gesamtfläche durch Multiplikation mit der Anzahl der Dreiecke ermittelt werden.

Zur Lösung der Aufgabe müssen die SchülerInnen also mit der Flächenberechnung bei Dreiecke vertraut sein. In der Aufgabe wird der „geometrische Blick“ geschult, indem die Dreiecksform in einer zusammengesetzten Figur erkannt wird. Hier findet sich ein wesentlicher Aspekt von Mathematik außerhalb des Klassenraums, nämlich das Erkennen von mathematischen Begriffen und Objekten in der Realität, sowie die Nutzung von mathematischem Wissen zur Lösung alltäglicher Fragestellungen. Das Lösen der Aufgabe ist ab Klasse 6 mit Erarbeitung des Themenbereichs Dreiecke möglich.

Aufgabe der Woche: Durchfahrt verboten

Dass sich in vielen Verkehrsschildern eine geometrische Fragestellung finden lässt zeigt die heutige Aufgabe der Woche. Dabei geht es um das kreisförmige „Durchfahrt verboten“ Schild und insbesondere um die Frage nach dem Verhältnis von roter und weißer Fläche. Aufgabe: Durchfahrt verboten (Aufgabennummer: 1102) Wie viel Prozent der Fläche des „Durchfahrt verboten“-Schilds ist rot? Zur Berechnung müssen […]

Dass sich in vielen Verkehrsschildern eine geometrische Fragestellung finden lässt zeigt die heutige Aufgabe der Woche. Dabei geht es um das kreisförmige „Durchfahrt verboten“ Schild und insbesondere um die Frage nach dem Verhältnis von roter und weißer Fläche.

Aufgabe: Durchfahrt verboten (Aufgabennummer: 1102)

Wie viel Prozent der Fläche des „Durchfahrt verboten“-Schilds ist rot?

Zur Berechnung müssen die SchülerInnen ihr Wissen über den Flächeninhalt vom Kreis verwenden. Zudem ist zu beachten, dass das Schild nicht nur im Inneren weiß ist, sondern auch noch einen weißen Rand hat, der für eine exakte Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Die SchülerInnen messen dafür die verschiedenen Radien, berechnen den Gesamtflächeninhalt und die Flächeninhalte der beiden weißen Flächen. Mittels Subtraktion ergibt sich der Flächeninhalt des roten Rings. Im letzten Schritt muss noch der prozentuale Anteil der roten Fläche berechnet werden.

Die Aufgabe ist im Bereich Geometrie einzuordnen, genauer bei Kreisen und Flächeninhalten und ist ab Klasse 7 lösbar. Andere Verkehrsschilder lassen sich in ähnlicher Art und Weise in geometrische Fragestellungen integrieren, beispielsweise das „Einfahrt verboten“ Schild bei einer Einbahnstraße. Insbesondere die verschiedenen ebenen Figuren bei Straßenschildern (Kreis, Dreieck, Rechteck, Achteck) motivieren hier vielfältige Aufgaben.

Aufgabe der Woche: Schlangenfläche

Die “Aufgabe der Woche” führt heute ins französische Lyon, enthalten im Trail „IFE“. Sie befasst sich mit einer Flächenberechnung der besonderen Art und zeigt auf spannende Art und Weise, welch vielfältige mathematische Ideen in alltäglichen Objekten stecken. Aufgabe: Schlangenfläche (Aufgabennummer: 1129) Das Metallgeländer der Feuertreppe hat die Form einer Schlangenlinie. Berechnen Sie die Oberfläche in […]

Die “Aufgabe der Woche” führt heute ins französische Lyon, enthalten im Trail „IFE“. Sie befasst sich mit einer Flächenberechnung der besonderen Art und zeigt auf spannende Art und Weise, welch vielfältige mathematische Ideen in alltäglichen Objekten stecken.

Aufgabe: Schlangenfläche (Aufgabennummer: 1129)

Das Metallgeländer der Feuertreppe hat die Form einer Schlangenlinie. Berechnen Sie die Oberfläche in m².

Bevor die SchülerInnen mit der Lösung des Problems beginnen können, müssen vorbereitende Überlegungen getroffen werden, z.B. ob die Steigung des Geländers relevant ist oder welche aus dem Unterricht bekannten Formeln zur Bestimmung der Länge des Geländers verwendet werden können. Dabei sollten die Schülerinnen erkennen, dass sich beim Abrollen der Geländerfläche die Form eines Parallelogramms ergibt. Bei zwei Rotationen der Treppe entspricht die Höhe dieses Parallelogramms gerade zweimal dem Umfang des Kreises mit der Stufenlänge als Radius. Mithilfe der Höhe des Geländers als Grundseite des Parallelogramms ergibt sich der Flächeninhalt der Schlangenfläche.

Es handelt sich damit um eine geometrische Fragestellung, die die Leitideen „Raum und Form“ und „Messen“ verbindet, indem die SchülerInnen geometrische Strukturen in der Umwelt erkennen sowie Größen messen und mithilfe dieser Berechnungen durchführen. Die Aufgabe ist insbesondere dem Themenkomplex „Kreis“ sowie dem Flächeninhalt von Parallelogrammen zuzuordnen und kann damit mit Behandlung der Formel für den Kreisumfang ab Klasse 8 eingesetzt werden.

Zudem zeigt die Aufgabe, dass viele Objekte vielfältige Fragestellungen motivieren können. Neben der Frage nach dem Flächeninhalt wäre es z.B. auch möglich, die Steigung des Geländers berechnen zu lassen.