15. Mai 2017

Aufgabe der Woche: Kombinatorische Treppe

Im Fokus der heutigen Aufgabe der Woche steht eine kombinatorische Fragestellung. Neben der für die Kombinatorik typischen Fragestellung nach der Anzahl von Möglichkeiten verbirgt sich hier zudem eine Anwendung der Fibonacci Zahlen, die von den SchülerInnen entdeckt werden können.


Aufgabe: Kombinatorische Treppe (Aufgabennummer: 1199)

Wie viele Möglichkeiten gibt es den Treppensatz hochzulaufen, wenn man pro Schritt entweder eine oder zwei Stufen erklimmt? Die Schrittfolgen können auch kombiniert werden.


Zur Lösung der Aufgabe gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen ist es möglich, verschiedene Kombinationsmöglichkeiten von 1er und 2er Schritten systematisch zu notieren. Dabei können die SchülerInnen dies mithilfe der Treppe direkt vor Ort ausprobieren und schlussfolgern, welche Kombinationen möglich sind. Bei einer anderen Überlegung verwendet man die Tatsache, dass der letzte Schritt entweder eine Stufe oder zwei Stufen umfasst. Lässt man diesen letzten Schritt weg, so ergibt sich für eine Treppe mit n Stufen die Anzahl der Möglichkeiten mithilfe der Möglichkeiten n-1 und n-2 Stufen hochzulaufen. Diese Überlegung führt zu den Fibonacci Zahlen, einer rekursiven Folge bei der sich eine Zahl durch Addition ihrer beiden Vorgänger ergibt.

Die Aufgabe ist demnach ein gelungenes Beispiel für “versteckte” Mathematik in einfachen Alltagsgegenständen. Sie bietet die Möglichkeit tiefer in den Themenkomplex der Fibonacci Zahlen einzusteigen bzw. diese von den SchülerInnen entdecken zu lassen. Nichtsdestotrotz kann die Aufgabe auch durch systematisches Probieren gelöst werden, sodass sie bereits ab Klasse 6 eingesetzt werden kann. Thematisch ist sie im Bereich Kombinatorik einzuordnen.

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